الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ في صورة معادلة.

$y = 2 x^{2} + 4 x + 5$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 y^{2} + 4 y + 5$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y^{2} + 4 y + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 4 y + 5 = x$

خطوة 3.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} + 4 y + 5 - x = 0$

خطوة 3.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 4$ و $c = 5 - x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $- 8$ في $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.6

اطرح $40$ من $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.7

أخرِج العامل $8$ من $- 24 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.8

أعِد كتابة $8 (- 3 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

خطوة 3.5.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $- 8$ في $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.6

اطرح $40$ من $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.7

أخرِج العامل $8$ من $- 24 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.8

أعِد كتابة $8 (- 3 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

خطوة 3.6.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.6.5

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{2 (- 3 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2 (- 3 + x)})}{2}$

خطوة 3.6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2 (- 3 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2 (- 3 + x)})}{2}$

خطوة 3.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 5 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $- 8$ في $5$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.6

اطرح $40$ من $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج العامل $8$ من $- 24 + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.7.1

أخرِج العامل $8$ من $- 24$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 \cdot - 3 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.7.2

أخرِج العامل $8$ من $8 \cdot - 3 + 8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.8

أعِد كتابة $8 (- 3 + x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 3 + x))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (- 3 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

خطوة 3.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

أعِد ترتيب $- 3$ و $x$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 3.7.5.2

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 3.7.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{2 (x - 3)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

خطوة 3.7.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - (\sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

خطوة 3.7.5.5

أعِد كتابة $- 1 (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$ بالصيغة $- (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = \frac{- (2 + \sqrt{2 (x - 3)})}{2}$

خطوة 3.7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ و $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[3, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $- \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 (- 3 + x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 (- 3 + x) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 (- 3 + x) \geq 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اقسِم كل حد في $2 (- 3 + x) \geq 0$ على $2$ .

$\frac{2 (- 3 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.1.2

اقسِم $- 3 + x$ على $1$ .

$- 3 + x \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$- 3 + x \geq 0$

خطوة 5.3.2.2

أضِف $3$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 3$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[3, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ هو مدى $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ ومدى $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ هو نطاق $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2 - \sqrt{2 (- 3 + x)}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{2 (x - 3)}}{2}$

خطوة 6